MATLABで学ぶ振動工学　FRFのH2推定について

はじめに

伝達関数（周波数応答関数：Frequency Response Function(FRF)）には、H1推定、H2推定、H3推定、Hv推定というようにいくつか種類があります。
前回はH1推定を紹介しました。本記事ではH2推定について説明します。

MATLABで学ぶ振動工学　FRFのH1推定について（伝達関数のノイズ低減）

伝達関数（周波数応答関数：Frequency Response Function(FRF)）には、H1推定、H2推定、H3推定、Hv推定というようにいくつか種類があります。 本記事ではH1推定について説明します。 MATLABのコードも載せています。

mech-eng-uni.com

2021.05.28

次回はH3推定とHv推定、その次にコヒーレンス関数について順次説明していこうと思います。

H2推定について

前記事で述べましたが、H1推定は伝達関数を推定する方法で最も一般的な手法です。

では、H2推定は？と聞かれると
正直、現在は使うことがないと思われます……
(じゃあ紹介すんなよ！ってツッコまれそうですね)

まず、理想的なFRFを考えてみましょう。理想的なFRF G(ω)は下記のようになります。

ただ、現実問題として、このような理想通りの測定はできません。それはノイズの影響があるからです。H1推定の場合は下図のように応答にノイズが入る場合を考えました。

H2推定の場合は下図のように入力にノイズが入る場合を考えます。

上図のような入力信号にノイズ成分が含まれる状況で、FRF＝（応答V）／（入力F）を推定する方法がH2推定です。

ここでみなさん下記のような疑問を持ちますよね。

私の答えは「なくはない」です。
下図のように（シグナルジェネレーター）→（アンプ）→（加振機）というようなフローで振動を発生させて入力を与えていた場合、入力Fはどこからでも測定できます。

具体的には下記の3通りが考えられます。
①シグナルジェネレーターとアンプをつなぐ電線を分岐させて、入力Fを測定する
②アンプと加振機をつなぐ電線を分岐させて、入力Fを測定する
③加振機上に加速度センサーを置く or 加振機にロードセルを仕込む or 加振機自体にレファレンス信号用の端子がある　などで入力Fを測定する

この場合①だと信号が小さく、測定するために分岐させていることにより、ノイズの影響を受ける可能性があります。なので、「なくはない」です。

昔はICPなどの電源供給型のセンサーなどはなかったので、入力Fをアンプに通す前のセンサー信号としていた場合などはH2推定を使っていたのですかね？（かなり推測が入ってます。）

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H2推定の理論

教科書に書いてあるH2推定の式自体はめちゃめちゃシンプルです。理論式は下記を参考にしています。

$$H2(ω)= \frac{W_{xx}(ω)}{W_{xf}(ω)}$$

ここでWxfはXとFのクロススペクトル密度関数(Cross Spectral Density Function)、WxxはXのパワースペクトル密度関数(Power Spectral Density Function)もしくはオートスペクトル密度関数(Auto Spectral Density Function)である。

ただ、教科書に書いてあるHz推定の式は少し間違っています。実際には下記になります。Nは平均化の回数です。

$$H2(ω)= \frac{\sum_{n=1}^{N} W_{xx}(ω)}{\sum_{n=1}^{N} W_{xf}(ω)}$$

もしくは（下記で言いたいのは、クロススペクトル密度関数の平均とパワースペクトル密度関数の平均から求められるよってことです）

$$H2(ω)= \frac{\sum_{n=1}^{N} W_{xx}(ω)/N}{\sum_{n=1}^{N} W_{xf}(ω)/N}$$

 

では、なぜ上式で応答に混入するノイズが低減できるのかを説明します。
なお、*は共役を指します。（*は×という意味ではないので注意）

$$H2(ω)= \frac{\sum_{n=1}^{N} V(ω)^*V(ω)}{\sum_{n=1}^{N} V(ω)^*(F(ω)+N(ω))}$$
$$H2(ω)= \frac{\sum_{n=1}^{N} V(ω)^*V(ω)}{\sum_{n=1}^{N} V(ω)^*F(ω)+V(ω)^*N(ω)}$$

ノイズ成分Nは無相関なノイズであることを前提としているため、平均化処理をすると0に近づきます。
イメージをつかみたい方は下記記事を参照ください。

MATLABで学ぶ信号処理　平均化によるノイズの低減（時刻歴編）

「平均化するとノイズの影響を低減できる」って良く聞きますよね？ ただ、実測データを扱わない人（実験をしない人）はあまり理解できませんよね。 なぜかというと、そもそも扱うデータに誤差が混入していないからです。 本記事では、平均化によるノイズの低減（誤差の低減）について説明したいと思います。 今回は”平均化”についての1回目の記事ということで、はじめて勉強する方にイメージをつかんでもらうことを目的としています。次回以降でより専門的な内容について紹介していきます。

mech-eng-uni.com

2021.05.25

従って、Nを増加させて平均化すると、無相関ノイズNは0に収束するので下式になります。

$$H2(ω)= \frac{\sum_{n=1}^{N} V(ω)^*V(ω)}{\sum_{n=1}^{N} V(ω)^*F(ω)}$$

上記により、ノイズが低減できます

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MATLABでの検証

解析結果

まずは解析結果を先に示します。（100回平均）

ノイズの成分のない理想的なFRFを黒線、
ノイズ成分を含み平均化処理をしていないFRFを青線、
（平均化処理をした）H2推定結果を赤点線で表しています。

図からわかるように、平均化処理をしていないFRFと比較して、理想的なFRFとH2推定結果の誤差が小さくなっています。

ちなみに、Fを基準としての±85%でノイズ成分を与えています。

次の次に説明する予定ですが、H1推定とH2推定がプログラミングできるようになるとコヒーレンス関数γ^2が簡単に求められます。

$$γ^2_{fx}(ω)= \frac{H1}{H2}$$

本検討でのコヒーレンス関数は下図のようになりました。

コード

実行ファイル

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functionファイル